第5章　微分と積分

こんにちは。后稷です。

統計学の学習を効率的かつ効果的に進める為には、微分法と積分法を避けて通る事はできません。何故ならば、後程に日を改めてお話ししますが、事象の発生確率は、とある図形の面積として示され、当該面積の計算には、積分法が用いられるからです。

本格的な確率計算の準備段階として、微分法と積分法の仕組み、計算例を、簡潔にお話し致しました。

第5章の目次
・数列と極限値
・微分法
・積分法
　・積分定数C

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数列と極限値

本章の主題である微分法と積分法の学習には、数列及び極限値の理解が前提となります。其のため、微積の前に、まずはこれら二つに関してお話しします。

数列とは、其の名の通りに、並べられた数字の列です。其の並べ方には、規則性がある場合と無い場合とがあります。

無規則の数列とは、其の名前が示す様に、何の規則もなく、無作為に選ばれた数値の列です。例として、MS Excelにて、0から20までの範囲にて乱数を並べると、この様な数列になりました。

　無規則の数列：
　9・7・2・8・20・5・17・1・15・0・7・・

規則性のある数列の代表例として、等差数列、等比数列、フィボナッチ数列、などが挙げられます。

等差数列は、隣り合う数値の差異が一定の数列です。当該差異は、特に、公差と呼ばれています。等比数列は、隣り合う数値の比率が一定の数列です。当該比率は、公比と呼ばれます。また直前の二つの数値の合計が次の値となる数列は、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ氏の名前から、フィボナッチ数列と呼ばれています。当該数列は、芸術や美術の分野で有名な、黄金比率（Golden Ratio）の根拠とされています。黄金比率は1対\(\frac{1+√5}{2}\)（≒1.61803・・・）です。

　等差数列（公差2）：
　1・3・5・7・9・11・13・15・17・19・・・

　等比数列（公比3）：
　1・3・9・27・81・243・729・2187・・・

　フィボナッチ数列：
　1・1・2・3・5・8・13・21・34・55・・・

数列が際限なく永遠に続く時に、最終的な目標となる数値は極限値と呼ばれます。永遠に続く数列に終わりはありませんので、極限値は到達できる数値ではありません。永遠に近づき続ける目標値と言えます。

極限値は英語でLimitです。よって数学的には、以下の様に表現されます。limの下部にある「\(x\rightarrow a\)」は、xが少しずつaに近づいて行く、の意味です。aには任意の数値が代入されます。

\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=極限値\)

なお、xが際限無く増加し、折れ線グラフの曲線がX軸を永遠に右方向に伸びる場合には、「\(x\rightarrow\infty\)」と表現されます。

微分法

本章の主題の一つである、微分法に関してお話しします。

微分法は、とある関数の傾きを示す、別の関数の算出に用いられます。例として、此処に関数Aがあるとします。この関数Aを微分し、新たに関数Bを算出します。当該関数Bは、関数Aの、任意の地点における、傾きを示します。

なお傾きは、誰しもが中学ニ年生の時分に学んだ、一次関数 y=ax+bにおけるaです。其の値は、xの変化に対してyが反応する度合いであり、xの変化1に対するYの変化を示します。また変化量を意味する符牒として、広く一般的に、ギリシャ文字のデルタが用いられます。デルタは、Δやδなどと書きます。

\(傾きa=\frac{y変化量\,\,\,\,}{x変化量\,\,\,\,}=\frac{\Delta x}{\Delta y}\)

当該方程式では、一次関数y=ax+bが描く直線に限り、正確な傾きが計算されます。真っ直ぐに長く伸びた直線では、傾きの値は、直線のどの部分でも一定です。また\(\Delta x\)の値に関わらず、仮に、1や3、100や1000などの数字であっても、\(\Delta y\)が正しく対応してさえいれば、常に正確な傾きが計算されます。

しかしながら、関数が曲線を描く場合には、其の限りではありません。例えば、二次関数や三次関数の様に、大きな弧を持つ曲線では、測定の場所ごとに、傾きの値は異なります。また\(\Delta x\)の値の大小は、たとえ其れに\(\Delta y\)を適切に対応させたとしても、傾きの値に影響を与えます。其のため、\(\frac{\Delta x}{\Delta y}\)では、正しい傾きは計算されません。この様な場面で、微分法が用いられます。

微分法による傾き計算では、xの変化量、即ち\(\Delta x\)は、限りなくゼロに近い数字を前提とします。其の値とは、先に極限値の件で確認した、xが永遠に増加する時の\(\frac{1}{x}\)、つまり\(\frac{1}{\infty}\)です。この値は、無限小と呼ばれています。これから具体的な数値を用いてお話ししますが、\(\Delta x\)に代入する数値が小さければ小さい程に、計算される傾きは、より正確になります。

また、微分積分学においては、方程式は、これ迄の「y=」に換えて、「f(x)=」にて表現されます。英文字fは、関数の英訳であるFunctionの頭文字です。括弧内にあるxは、関数の独立変数がxである状況を示します。よってf(x)は、「独立変数xの関数f」の意味です。yとf(x)の違いは、単に用いる記号の変更であり、其の内容に違いはありません。

また、微分法の適用は、数式\(\frac{d}{dx}\)で表現されます。先に見た関数Aと関数Bの関係は、方程式\(\frac{d}{dx}\) 関数A = 関数Bにより、関数Aを微分すると関数Bになる状況が示されます。

微分の計算に用いる方程式は、以下の通りです。定義による厳密な方程式は計算の根拠を示します。また実用的な方程式は、より迅速かつ簡単な計算を可能とします。何方の方法であっても、結果に違いはありません。

　微分の方程式
　・厳密：\(\frac{d}{dx}f(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
　・実用：\(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\)

微分法を用いた傾きの計算方法は、動画にて詳しく解説しております。

積分法

さて、本章の二つ目の主題である、積分法に関してお話し致します。

積分法は、とある関数とX軸とに囲まれた部分の面積の計算に用いられます。例として、此処に関数Aがあるとします。この関数Aを積分することで、新たに関数Bが算出されます。当該関数Bは、関数AとX軸に囲まれている部分の面積を示します。

積分は微分の正反対の流れとなります。簡潔に申せば、微分後の関数を、微分前の状態に戻す行為が積分です。微分と積分の順番を変えても同様です。積分後の関数は、微分することで、積分前の状態に戻ります。

積分法の適応は、\(\int\)（インテグラル）とdxで表現されます。先に見た関数Aと関数Bの関係は、\(\int_a^b 関数A\ dx =[関数B]_a^b\)により、関数Aを積分すると関数Bになる状況が示されます。なおインテグラルに附されている小文字のa及びbは、面積計算における、x軸の範囲を示します。

また、微分の時と同様に、積分法においても、xの変化量、即ち\(\Delta x\)は、無限小であるとの前提が敷かれます。

積分法の計算に用いる方程式は、以下の通りです。

　積分の方程式
　・\(\int_a^b x^n dx = \left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_a^b\)

繰り返しますが、微分と積分は正反対の行為です。よって、\(x^n\)を積分すると\(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\)になり、\(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\)を微分すると\(x^n\)に戻ります。

積分法を用いた面積の計算方法は、動画にて詳しく解説しております。

積分定数C

先程に、微分後の関数を積分すると、微分前の状態に戻ると申しました。しかしこれには、一つの例外があります。Xを含まない項に関しては、この限りではありません。

Xを含まない項とは、言い換えれば、\(x^0\)が附されている項です。なお、\(x^0\)は1です。\(x^0\)を微分すると、ゼロの掛け算ですから、ゼロとなります。ゼロの積分も同様です。よって、xが附されていない項を微分し、その後に積分しても、当該項は回復しません。

しかしながら、たとえ項が回復しないといえど、当該項をゼロと表現してはいけません。何故なら、微分前の数値は、必ずしもゼロではなく、何かしらの数値であった可能性があるからです。

この様な場面で、xを含まない項の存在は、英文字のCで示されます。Cは、定数を示す英単語である、Constantの頭文字です。

例として、\(x^5+3\)を微分し、その後、直ちに、積分してみましょう。

\(x^5+3\rightarrow 5x^4+0\)

\(x^5+C\leftarrow 5x^4+0\)

微分と積分は正反対の行為です。よって、微分後の関数を積分すると、微分前の状態に戻る筈です。確かに、\(5x^4\)は、元通りに、\(x^5\)に戻ります。しかし0は、積分後も、ゼロの掛け算となり、変わらずゼロのままです。こうして、微分前には存在した3が回復しないこととなります。

しかし、たとえ3が回復しないからといって、其れを無視してはなりません。よって、3に替えて、何かしらの数値が存在した形跡を示す必要があります。其の為に用いられる記号が、件の、積分定数Cとなります。Cは、定数を意味する英単語、Constantの頭文字です。

学校や資格などの試験において、積分定数Cを失念すると、減点の対象となります。最後まで気を抜かずに、しっかりと、Cを書く様に心掛けましょう。しかしながら、しかし統計学の確率計算においては、特段に意識する必要はありません。

本日の終わりに

怱々不一
有栖川后稷

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